• 皇冠博彩 网址国际体育赛事app | 这个浮浅的“三点共线”数学问题,果真是一个未处理的问题,到底难在何处?

    发布日期:2024-06-30 03:17    点击次数:91

    皇冠博彩 网址国际体育赛事app | 这个浮浅的“三点共线”数学问题,果真是一个未处理的问题,到底难在何处?

    皇冠博彩 网址国际体育赛事app 皇冠客服飞机:@seo3687皇冠会员新二手机登录皇冠代理皇冠博彩 网址菠菜乐平台排名www.crownbingo888.com

    图片

    在一个特定大小的网格上(最多)遗弃若干个点,使得莫得三个点在归拢直线上?这果真是一个未处理的问题。但与一些看似浮浅实则费劲的问题不同(比如Collatz料想),这个问题上已获得了一些施展。望望这些施展,也许还不错深切了解如何处理数学中的敞开问题。一齐探索吧!

    开拔点,从一个正方形网格初始,有n行n列。对于给定大小的网格,不错在网格线的交叉点遗弃若干个点,以确保莫得三个点不错用直线蚁集?

    图片

    这个“三点不同线(No three-in-line problem)”的问题领先由Henry Dudeney在1900年建议,其时是对于一个8x8的棋盘上的棋子。

    【五码直选】02579*23789*13589

    二、组选分析:历史上组选号码165开出了45次,其下期奖号分别为:622-461-233-596-822-804-358-392-044-531-649-586-335-874-498-132-049-563-695-608-423-810-364-408-192-854-680-781-656-045-131-441-614-171-542-670-114-114-780-254-143-664-395-973,其开出期数和下期奖号统计为:

    图片

    处理这类数学问题的一个有用要道是先不雅察n较小的情况。不错从小的网格初始,你会注意到,当n增大时,问题缓缓变得费劲。n为1和2的正方形不错王人备填满,但从3初始,就需要一些时刻。当n=4时,初始有多种不同的要道不错达到最大值,

    图片

    皇冠信用网如何注册

    而在n=5时,必须初始有计划“象步”对角线:

    图片

    对于n=5,这里有一个可能的解:

    图片

    上界

    当n较小时,可能遭遇的第一个保密是不知谈什么时刻停驻来。咱们如何知谈一经遗弃了整个符合的点?要是能有一个上界就好了:即使不祥情能达到阿谁数字,但肯定不成跨越阿谁数字。

    图片

    是时刻用一般的数学章程来求解问题了。当n较小时,能遗弃的最多的点的数目是网格的宽度乘以二。

    图片

    事实解说,咱们不错用称为鸽笼旨趣(pigeonhole principle)的章程来解说咱们弥远不会作念得更好。

    鸽笼旨趣说,要是有n个对象被放入k个空间中,那么至少存在一个空间,其中有n/k或更多的对象。

    图片

    假定有5个鸽笼放16只鸽子。要是试图使每个鸽笼中有3只或更少的鸽子,那么只可容纳最多15只鸽子,是以有16只鸽子时,至少有一个鸽笼中必须有4只或更多的鸽子。

    图片

    要是只温柔正方形网格的行,并忽略列和对角线,那么不错把点手脚鸽子,行手脚鸽笼。每一转自己即是一条线,把柄章程,每行最多只可有2个点,这意味着在一个n x n的网格上,最多只可放2n个点。

    是以咱们找到了一个上界,但咱们当今还不知谈当n取落拓值时,是否总能达到这个上界。本体上,我能找到的最大网格是n=52,在上头最多放2n(104)个点,使得莫得三个点在归拢直线上。

    图片

    下界

    不错使用越来越高大的盘算机搜索越来越大的网格,但在数学中,咱们更可爱一般的情况。那么,对于n相配大时应该若何办?比如n=1000或者更大呢?咱们一经有一个上界。也许咱们不错找到一个下界。

    文件中出现的第一个下界来自极其多产的数学家保罗·埃尔德什(Paul Erdős)。

    图片

    埃尔德什发现,对于任何质数 p,总能在 p x p 的网格上遗弃至少 p 个点。埃尔德什解说这极少的款式揭示了另一个有用的处理问题的时刻:用数学的另一个分支重写问题。埃尔德什将这个几何问题回荡为一个数字问题。咱们当今来看解说:

    开拔点在方格上遗弃 x 和 y 坐标,举例从0到 p-1的整数。埃尔德什说咱们不错在每一列中遴荐一个点,以确保这些点中的任何三个都不在一条直线上。要道是:为了找到 y 值,取 x 值,然后求它的日常,并求除以 p 之后的尾数。

    图片

    是以咱们找到的点是沿着函数 y=x^2 mod p 的点。

    咱们若何知谈这种要道老是有用的呢?在网格内取 y=x^2 mod p 上的落拓三个不同点。咱们称这些点的 x 坐标为 i、j 和 k,按递加限定,是以这些点的完好意思坐标分辩是(i, i^2 mod p)、(j, j^2 mod p)和(k, k^2 mod p)。

    图片

    第极少和第二点之间的线的斜率即是:

    图片

    同理,第极少和第三点之间的斜率是:

    图片

    要是这三个点在归拢条直线上,这些斜率必须颠倒:

    图片

    要是不错从这些分数中消去 j-i 和 k-i 就太好了,但咱们要小心,某些数字mod下除法可能会有奇怪的事情发生。比如:

    图片

    消去(4-1)后的谜底是5,但本体谜底是0。但在某个数字m下的除法在某些特殊情况下如实不错消去。

    图片

    尽头地,要是被除数、除数和商都条目为整数,且b与m除了1以外莫得人人因子,也即是,b和m是“互质”的。

    在咱们的网格中,因为p自己即是质数,是以p与整个不是p的倍数的整数互质。由于 j-i 和 k-i 小于 p,它们不成是p的倍数,而由于 j+i 和 k+i 是整数,这意味着咱们不错省心肠进行这些消去操作。 最终得到 j=k。但咱们领先假定 i、j 和 k 都是不同的!是以,得到了一个矛盾,意味着这一组中莫得三个不同的点位于归拢条线上。是以,欧博会员网站埃尔德什的要道对一个质数大小的网格老是有用的。

    对于质数n找到这个遵循更有匡助:咱们知谈至少不错在 nxn 网格中放入至少与小于n的最大质数相同多的点,其中莫得三点共线。是以对于1000x 1000的网格,最多放入的点的数目至少是997。何况,正如 Joseph Bertrand 所建议的,Pafnuty Chebyshev 所解说的,对于 n>1,老是存在一个介于n和2n之间的质数。是以,咱们至少老是不错在nxn网格中放入至少 n/2个点,莫得三个点共线。

    图片

    更好的下界

    模数运算使得 Richard R Hall 和他的合著者在1974年进一步普及了下界。咱们将从视觉上看这些遵循,但咱们不会王人备解说它们。他们的论文比埃尔德什的解说难以交融,但要是你想了解,论文题目是“Some advances in the no-three-in-line problem”。

    作家开拔点解说,不管n是否是素数,任何n x n网格上都不错遗弃至少 n 个不共线的三点。

    图片

    bc体育入口

    使用贝尔特兰和切比雪夫的定理在 n/2和n之间选取一个素数p。方程 xy mod p = -1给出了一组 S 中的 p-1个不在一线的点,这些点位于 p x p 的网格中,何况莫得两个点分享归拢转。

    图片

    咱们不错通过将直线的方程 y=mx+b 代入方程来解说这极少。这产生了一个二次方程,

    图片

    图片

    其最多有两个解,对应于 S 中的线上最多两个点,这些点在 mod p 下不等价。此描摹袒护了很多模运算法例,但 Hall 和他的一又友们解说了整个的细节。然后咱们不错取 S 的两个副本,

    图片

    皇冠体育

    再加上一个独特的((p-1, p+1),然后将那些 2p-1 个点的前 n 个遗弃在 n x n 网格上。其次,他们解说,对于任何素数 p,一个 2p x 2p 的网格不错容纳 3p-3 个点,或稍少于1.5n。

    取这组S中的 p-1个点,将其分为四个四分之一网格,

    图片

    并将这些四分之一网格分辩复制3次,围绕 2p x 2p 的网格枚举。

    图片

    这个大鸠合 T 包含了 S 中每个点的三个副本,这些点在 mod p 下是等价的。按照之前的逻辑,T 中的三个点惟有在至少两个点在 mod p 下第价的情况下才调在一条线上。这只可发生在一条水平的、垂直的或者斜率为±1的线上。

    图片

    水和蔼垂直线不成包含3个点,因为它们只经过S的2个副本,而对角线也不成,因为它们经过的第三个点会在T的中心“闲隙”中。

    是以,咱们一经得到了大致1.5n 的下界和 2n 的上界。

    图片

    然而,咱们还不祥情在阿谁限制内不错找到任何特定的大 n 的最好解。还有临了一个处理问题的时刻——料想(conjecture),来自 Richard Guy 和 Patrick Kelley 在1968年,由 Gabor Ellmann 在2004年修正。

    近日,一名体育明星因为被曝光了自己的私人生活,引起了全球媒体的关注和热议。如何保护个人隐私和避免不必要的麻烦已经成为了全球明星和名人们共同关注的话题。想要了解更多关于如何保护个人隐私和避免不必要的麻烦的热门话题和新闻,不妨加入皇冠体育博彩平台,与全球名人和明星们一起分享和讨论。

    这个料想使用了统计参数。开拔点,咱们需要盘算在 n x n 网格中3个迅速点是共线的概率。Guy 和 Kelley 用组合数来作念这个(也就长短常高等的计数),要是你想看整个的细节,你应该稽察他们的论文(The No-Three-In-Line Problem)

    图片

    秘诀是盘算整个可能斜率的整个直线上的整个点。

    图片

    得到的大致概率是

    图片

    一朝有了这个概率,就不错盘算,对于任何给定的常数 k 在1.5到2之间,一个 n x n 网格中迅速选取的 kn 个点莫得3个点共线的概率是若干。遵循大致是

    图片

    国际体育赛事app

    然后,乘以 kn 点的总组合数,

    图片

    菠菜平台网址

    来看大致有若干莫得三点共线的组合。这个等式是由一个 n^n 项诓骗的,或者更具体地说是

    图片

    这本体上是 Ellmann 的修正场地:Guy 和 Kelley 诞妄地使用了 +2而不是 +k。当指数中的所有为负时,这个项变为零:换句话说,要是 k 太大,那么,咱们瞻望基于迅速性,可能莫得任何三点共线的点集。这并不料味着不成有一个,仅仅统计上不太可能。一些代数揭示了当 k 跨越 π 除以3的日常根时,这个所有为负。

    图片

    是以,这个测度是这是一个截止。对于一个 n x n 的网格,你不太可能或者遗弃比 n 乘以 π 除以3的日常根多的点而莫得其中的三点共线。

    图片

    论断

    咱们从一个对于海外象棋棋盘的意想的小谜题初始,一直到东谈主类学问的角落——数学家只作念了有把柄的猜猜。但愿你能看到,为什么在追求谜底的进程中皇冠国际休闲会所,每一步都是合理的。像这么的敞开数学问题遍地可见,只须你深切挖掘,就会发现,正如旧的问题得到了谜底,新的问题也被建议。是以,快点出去探索吧!

    本站仅提供存储干事,整个内容均由用户发布,如发现存害或侵权内容,请点击举报。