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但凡学过高数的，应该见过 这个象征。它由爱尔兰物理学家哈密顿(William Rowan Hamilton)于1837年引入1331银河一站，因此被称为Hamilton operator，也叫del算符，中语读作“倒三角”，英文读作“nabla\"。它是一个能进行微分运算的算符，在三维直角坐标系中界说为

是不是以为有点怪怪的，如何上头的偏导象征背面是空的，这等于算符的特色，就好比一个空根号 ， 虚席以待，对放入其中的东东履行特定的运算，对 来说，它履行的运算是偏导。

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温馨辅导：以哈密顿的名字定名的另一个算符——Hamiltonian，是指量子力学中的能量算符，请勿浑浊。

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既然算符自己并不是量，因此不可说 矢量，只可说是矢量算符——“矢量”二字仅作为算符的修饰语。对此，梁灿彬先生有一个灵活的比方：

算符正张嘴等你喂食，惟有吃进一个量材干成为某个量。

矢量可以与标量数乘，还可与矢量点乘和叉乘。而作为矢量算符， 也相应有三种运算。

它若作用在标量上，则对该标量求三个偏导，近似数乘，称为梯度。它若作用在矢量上，可以分两种情况：第一种情况，它的三个偏导分别作用在矢量的三个对应份量上，这种对应关系近似于点乘，称为散度；第二种情况，它的三个偏导按照叉乘的司法作用在宗旨上，称为旋度。

底下分别仔细讲讲这三个东西是什么。

1. 什么是梯度?

函数 的梯度记作 或 。在直角坐标系中，函数 的梯度界说如下

梯度到底是个神马东西？且听我冉冉谈来。

温馨辅导：文中数学算式若夸耀不全，诸君请动动您的小指头轻触公式并傍边滑动即可。

1.1 先简便点，什么是坡度？

通常用落差描写两点之间的高度差，而坡度则表露落差与水平距离的比值。如下图直角三角形斜边的坡度为 。

而如下图左边的台阶，它的总体的坡度（ 参考 点连线的坡度）是

图中四条斜线的的坡度轮换减小，台阶上名义的坡度为零，而台阶的竖直面的坡度则为无尽大。可见，坡度看起来老是与一段有限大小的距离关联的，并不可确切的给出各个点的精细情况。

上头右边的图中，任一台阶 的坡度 （也等于图中各彩色线段的斜率）为

此刻，我的脑海里的征象未必可用底下这幅图来描写。

1.2 若坡度连气儿变化，如何办？

上头台阶图中的那些线段连成一条折线，若用函数表露，是一种不连气儿的跃阶函数。设计每一步台阶无限小，水平标的放纵坐标 处的无限小台阶的坡度为

由于每一步台阶皆无限小，因此高度 随水平距离 连气儿变化，折线变成光滑的曲线，可用一个连气儿函数 描写。若该函数不出现急拐歪——那种狠恶的峰或谷（例如 在 处），在数学上称之为可导。

要磕倒一定要连气儿，但连气儿不保证磕倒

上述 即为该函数在职意位置 处的导数

它给出 处无限小的台阶的坡度。例如，对下图所示的这种曲线，其坡度亦然连气儿变化的，凭证关系 ，可得导数为 ，它是一个减函数，也等于说，坡度随 增多而减小。

再比如，函数 的导数是 ， 越鉴识原点，坡度越来越大，因为函数图像是一条启齿进取的抛物线，原点是最低点。随着 坐标逐渐鉴识原点，对应点的斜率增大。

由以上推敲可知，对一维曲线，曲线在某点的坡度，数学上是函数的导数，几何上诟谇线在对应位置的切线的斜率。换句话说，坡度、导数以及切线的斜率在职一丝是独一服气且等价的，它们皆可用来描写函数随自变量的变化。

1.3 对二维曲面，坡度管用吗？

对一个二维曲面，如何描写它在某处的坡度呢？例如下图中的斜面，你可能会说，这个简便啊，斜面的坡度不等于斜面的高除以底边长度嘛！夸耀它的坡度与沿着斜面进取的那一条线的坡度疏导。

再例如，我们把曲线 绕着 轴旋转，就会酿成一个二维曲面，称之为旋转抛物面。如下图所示，它的方程是 ，你自然会预想，这个曲面上任一丝的坡度应与抛物线一样，对吗？

要是你按照斜面的方式来看，也等于说，你指的是沿着曲面进取标的的坡度，那么它的确等于抛物线所给出的阿谁坡度。但与曲线不同的是，曲面上任一丝前进的标的不啻一个，而是无数个，前边提到的斜面亦然如斯。很夸耀，沿不同标的，曲面升降有快有慢。

要是你认为坡度可以沿不同的标的界说，那么不同标的的坡度夸耀是不同的。以上述斜面为例，从点 沿水平标的坡度为零，而沿斜面进取的标的，坡度最大。因此，当描写坡度时，你必须指明所关心的标的。

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若你认为坡度老是指曲面升降最快的阿谁标的的坡度，那么，对放纵标的曲面升降快慢的描写，应领受另一个意见更合适，它等于标的导数。

1.4 标的导数来救场了

什么是标的导数，其实毋庸想的太复杂。凭证前边所讲的，导数等于坡度的极限，那么标的导数等于给定标的的坡度的极限。

如上图所示，二维曲面由函数 描写， 面上，点 和 的距离为 , 的函数值相对 的函数值的增量为 。则参照上头的那句话

即为函数在 点的沿 的标的导数的界说式。 前边说过，任一丝 的坡度有无数个，目前指定了一个服气的标的，那么这个坡度等于服气的，它的极限等于该标的的标的导数。

呃，这个坡度的极限如何求呢？

函数值的增量由它的自变量的增量导致，那么你很容易预想，这些增量之间应该存在某种关系，计算最简便的关系是线性关系，也就说 其中 和 与 和 无关。关联词本质上，这是不竖立的，除非函数 是线性函数。

但东谈主们发现，当 和 皆趋于零时，上式是竖立的！此时 和 分别是函数在该处的两个偏导数。即

至于这里面的偏导是什么的问题，你完全可以按照前边讲的一元函数的导数去交融，只是当你求某个自变量的偏导时，将其他自变量视为常数即可。要是你还不懂，请参看本公号之前的一篇著作：“稳妥高中生和大一重生的芜俚微积分：导数、微分、偏导和全微分”。

当不知足趋于零的要求时，就存在一个差值，我们用一个高阶小量填补这个差值，因此就有

上式背面的 代表由 和 组成的高次项。

这本质上是数学里一个被称之为“泰勒展开”的紧迫限定。它的基本念念想是：当一个函数的变化值很小时，它总可以用自变量的增量的从1脱手的次幂的线性组合来近似，幂次越大，则近似进程越高。上式中的最高幂次是1，近似进程是最低的。

凭证矢量的点乘司法，上式即为设 与 轴夹角为放纵值 ，则与 轴夹角为 ，则有 故有 代入到标的导数的界说式中，即得到 由于 是高次项，当 时，其值为零，故得 至此，通过极限的运算得到了标的导数的抒发式。

在以上经由中，我们将 看作一个合座的象征来分析的。其实也可以换一种念念路，既然标的导数等于特定标的的坡度的极限，那么就从该极限起程往前推导吧，极限不就等于两个微分相除嘛！ 谨慎，此式与前边的界说式比较，只是傍边调换了，但念念路不同，这里是等号，而非界说。目前将右边的导数象征四肢两个微分相除，凭证二元函数的全微分（不解白？请参看本公号之前的著作：“稳妥高中生和大一重生的芜俚微积分：导数、微分、偏导和全微分”）上式除以微分 得 相通得到上述标的导数的抒发式，经由更简便。

以上是按照二元函数来讲的，因为基于二维曲面能比较直不雅的交融。对于放纵多个变量的函数，其标的导数亦然近似表露。例如函数 的标的导数为 其中 分别是 与 轴的夹角。

回头看，一维曲线（一元函数）为什么莫得标的导数？因为它的自变量只可沿独一的数轴标的变化，不需要界说标的导数。

讲了半天的标的导数，它有神马用？它给出空间曲面任一丝处，沿某个标的的坡度。说到这里，很容易预想一个问题，阿谁坡度最大的标的是哪个？对应的坡度又是些许？

1.5 标的导数的最大值

由于标的是通过余弦函数来体现的，余弦函数属于 ，因此有的东谈主就简便的认为，标的导数的最大值是

对吗？不妨用前边提到的抛物面来西席一下，由其函数抒发式 ，窥探点 处的最大标的导数，上式给出的值为4。但夸耀，抛物面的坡度的最大值是旋转抛物线 （或 ）在对应旋转半径处的导数。由于点 对应抛物线的旋转半径是 ，故得抛物线在此处的导数为 是以，上述标的导数的最大值 服气是不合的！本质上，放纵标的与数轴夹角的余弦之平方和必为1，否则该标的是不存在的，因此也不可能有上述阿谁值！例如上述抛物面，不存在与 轴的夹角皆为零的标的。

底下来看，这个最大的标的导数到底是什么。

凭证矢量的点乘，三元函数的标的导数可写成 由于 ，故背面括号中的矢量的模为1，它是一个沿着某个 标的的单元矢量 。而矢量点乘沿某标的的单元矢量，等于矢量在该标的的投影。故上式标明，矢量 在 标的的投影等于函数 在该标的的标的导数，即 而矢量沿放纵标的的投影的大小不会超越自身的模，因此，标的导数的最大值等于上述矢量的模，即

例如，对旋转抛物面 ，在点(1,1)处，该值为 与旋转抛物线在该处的导数疏导。

好了，我们找到了这个模取最大值时的标的导数，它的模等于曲面在对应点的最大坡度，而它沿放纵标的的投影即为沿该标的的标的导数。

1.6 梯度终于登场了！

我们找到了一个相等紧迫的矢量，它给出空间中的一个特征标的。沿该标的，标的导数取最大值，也等于场函数的变化最快的标的。

很夸耀，这个矢量太紧迫啦！可以，它等于所谓的梯度！通常用 或者 表露，例如函数 的梯度记为 或 ，即脱手时给出的(1.1)式 梯度是什么？简便的说，一个函数 的梯度 ，亦然一个函数，但同期又是矢量，它在职意点的模是函数在该点的标的导数的最大值，而它在该点矢量的标的则给出函数取值变化最快的标的。

基于梯度的意见，可以把标的导数再归来一下：标的导数是梯度矢量在相应标的的投影值。也等于说，沿放纵单元矢量 的标的导数总可表露为

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基于此式，有两个常用的论断，一个是函数的沿某标的的微分，它等于梯度与自变量空间的矢量微分的点积，即

其中 。另一个是此式的积分时势，即 此式右边是梯度在 之间的曲线积分，左边老是函数 在这两点的函数差值，这讲明梯度的积分与旅途无关！本质上，这等于物理中的保守力的意见的开始。一种势能的负梯度是它对应的保守力，是以保守力作念功与旅途无关。

窃以为，除界说式(1.1)除外，上述(1.2)~(1.4)三个等式应该是梯度的中枢与精华，你值得领有。

还有两个值得谨慎的问题再提醒一下。

第一、梯度指向函数值变化最快的标的，确切的说，是函数值增多最快的标的，而不是减小最快的标的。只须按照梯度公式诡计，自动会得到这个标的，背面一个对于点电荷电场的例子展示了这一问题。

第二、梯度是自变量空间中的矢量。例如函数 的梯度矢量如下图中箭头所示，它在 平面内，而非在曲面上。

1.7 其他坐标系中的梯度

上头讲的，似乎皆只局限在直角坐标系，常用的柱坐标、球坐标系中的梯度又是如何的呢？

最初必须明确，梯度与标的导数的关系亦然独处于坐标系的，即：标的导数是梯度矢量在相应标的的投影值。据此，设有某正交坐标系，沿单元矢量 标的出动 的距离，函数变化 ，则必有

因此 ，前边刚提过这俩式子。

而函数作为坐标变量的函数，其全微分具有与直角坐标系疏导的时势，正交坐标系中 的全微分的一般时势是 目前只须把该坐标系中的 找出来，让后比较这两个 ，就可以得到 的抒发式了。

先看柱坐标系，如上图所示，从 出动到 点，可以四肢是轮换沿着 三个标的出动，凭证矢量三角形法则，有

当 时，忽略高阶无尽小，则得 而柱坐标系中，函数的全微分为 将此 写成 的时势 按矢量的点积司法，则得梯度为

再看球坐标系，如下图所示

相通，凭证矢量三角形法则，可得 取极限得 同理得球坐标系中的梯度抒发式为

1.8 举几个例子

最初来看如何求函数的梯度，并据此求标的导数。

凭证梯度与标的导数的关系，即(1.2)式 只须将梯度乘以某个标的的单元矢量，可以得到放纵标的的标的导数。

例1：设有函数

其代表的曲面如下图。XOY面上一丝 沿着三个不同的标的指向 , 和 ，对应的矢量分别表露为 ， 和 。 诡计函数在 点沿这三个矢量的标的导数。

先算梯度，凭证梯度抒发式在 处的梯度为 它的模为 。

对矢量 ，它的值为 ，故其单元矢量为 故标的导数为 对矢量 ,它的值为 ，故其单元矢量为 故标的导数为 对矢量 ，它的值为 ，故其单元矢量为 故标的导数为 很夸耀，沿着 的标的导数最大，恰恰等于梯度的模，从图可知，曲面沿此方进取升最快，这等于梯度标的。

例2：以上述旋转抛物面为例，西席一下梯度与标的导数的关系。

抛物面函数 的梯度为

代入坐标(1,1)，得梯度的模为 恰恰等于抛物线 在旋转半径处的导数值，这讲明旋转抛物面沿着该标的具有最大的标的导数，即为抛物面的梯度。

底下再从求标的导数的最大值来考证一下这个效用。

窥探一个放纵标的 沿此标的的导数为 依直观，沿径向往外的标的应是抛物面高潮最快的标的，此时 知足故得 代入坐标 得标的导数最大值为 。

对上述经由，有东谈主可能以为前边“依直观”有点牵强，其实也可以刎颈石友推导得到，令标的导数为 的函数 寻找取极值时的 值，求导如下 则有 联立 得 与上述“依直观“保握高度一致。

例3： 求点电荷的电场的梯度。

设真空中带正电 的点电荷处在原点，以无尽远方为电势零点，则距离原点 处的电势为

凭证上述球坐标系中的梯度的抒发式，得空间电势梯度为

前边负号标明梯度矢量沿向指向球心的标的，即电势增多最快的标的，这讲明沿径向往外的标的，电势减小最快，而这恰恰等于正电荷的电场的标的。

1.9 梯度与等值线（面）

二元函数 给出一个曲面， 坐标疏导的点在 面上描写出一条平面曲线，称之为等值线。典型的例子如等温线，等高线。如下图所示，下部分为等高线。

要是是三元函数，则函数值疏导的点知足 ，酿成一个曲面，称之为等值面，典型的例子如电场的等势面。如下图所示，紫色的曲线就代表电场的等势面。

而对于更高维空间的函数，自然在这里无法径直展示，但也相通具有相应维数的高维曲面作为等值面，与空间的梯度矢量处处垂直。

一般商定相邻的等值线（面）的函数差值疏导，如前边山丘的等高线，每两条等高线对应的高度进出10个单元高度。

为什么等值线（面）与梯度关联呢？

它们皆在函数的变量空间中，例如函数 的界说域 平面。梯度是矢量，在职何一丝，它老是指向函数值的变化最快的标的，而等值线老是那些函数值疏导的点组成的线（面）。

二者之间的一个紧迫关系是：等值线(面)与梯度处处相互垂直。

这可用反证法解释：假定不垂直，则梯度沿着等值线(面)的切线重量不为零，这会导致等值线(面)上两点之间存在函数差值，这与等值线(面)的自己的界说矛盾，故梯度必定与等值线(面)处处相互垂直。

自然，要是你要严格从数学上解释这个论断，其实也不难。

常用的依据是：两个非零矢量若相互垂直，则它们的点积等于零，反之亦然。

因此，我们只须解释梯度矢量和等值线(面)的切向矢量的点积的确为零即可。

但有东谈主可能犯难了：这梯度矢量倒是知谈了，等于 ，可等值线(面）的切向矢量该如何得到呢？

以二元函数 为例，它的放纵等值线为 它是一条位于XOY平面内的平面曲线。将这条线想象成一个粒子畅通的轨迹，它的畅通方程为 凭证畅通学可知，曲线上任何一丝的速率 皆沿该点的切线标的， 而这个速率等于上式对 的导数 ！换句话说， 的标的恰恰就沿着等值线的切线标的。

是以，只须能推得 就解释了上述命题了。

将 和 的抒发式代入上式左边，得 看出来了吗？这不是等于求复合函数 的导数嘛！因此得 这下就亮了！因为前边说了 等于常数 ，因此 命题得证。

底下是静电场的等势面的例子。

如下图所示，两个等量异号电荷的等势线与电场线的漫步情况，学过一丝高中电场的同学皆知谈，均匀电场中一段距离上的电势差为

惟有沿着电场标的出动，才会产生电势差，设出动矢量为 ，则引起电势改变的灵验距离 是 在平行于电场标的的投影，由于电场指向电势裁汰的标的，是以有

当 时，上式即为 据前边提到的庞大限定 可知，电势的梯度为 ，即 即电场强度指向电势裁汰最快的标的，电势梯度标的与电场标的相背，等势面与电场线处处正交，如下图所示。

若将 双方积分便得到 也等于 左边为单元正电荷从 移到 后，电势能的减小数（运行值减去其后的值）， 右边是电场力对单元正电荷所作念的功，因此得到一个常见的论断：电场力作念的功老是等于电势能的减小数。

上述分析，若从 起程，径直应用前边提到的梯度的三个精华与中枢的关系式，则愈加直吐胸宇，阳春白雪。

1.10 梯度与旅途搜索

梯度给出了函数值变化最快的标的，这话自然没错，然而这句话并不具有完全实用性，什么真理？简便的说，梯度只可给出局域变化最快的标的，并不可径直给出长距离上的函数变化最快的标的。假若你说：梯度给出高维曲面转折降最快的旅途，那就大错特错了。如下图，这条旅途等于按照各点梯度给出的矢量连成的旅途，夸耀，它并不是最短的旅途。

一座绵亘陆续的山，若在它正下方海拔为零的平面 上界说函数 ， 用它表露对应坐标处山的的海拔高度。对平面上一丝，朝不同的标的走，山的高度的变化趋势是不同的。

若梦想的旅途的策划惟有一个，等于距离尽可能的短。这就要求高度在所行进的方进取是变化最快的。如何比较不同标的，山的高度值变化的快慢？

有两种等价的方法。可以在坐标空间中沿着不同标的出动疏导的距离，找出高度变化最大所对应的标的；也可以章程疏导的高度变化值，然后找出坐标空间中出动的最短旅途的标的。不外，在上述判断方法中，惟有当出动的距离阔气小，所判断出的标的才越接近真实的梯度标的。

老丁、老郑和王局一齐从山顶下山，要是要求他们从山上每着落一定的高度 ，所走的旅途最短，当这个章程值 相等小时（比如10米以内），他可将缓缓的位置坐标代入山名义函数的梯度中，得到一个移步的标的。老丁据此方式下山，他沿着由一系列局域的最短旅途贯穿而成的旅途下山，如下图中绿色曲线。

等老丁下山之后，他发现王局和老郑早就在山脚等候多时。原本老郑按 谋略最好旅途，效用所走的路比我方的短多了，而王局知谈半山腰处有电梯，而况去电梯的路夸耀也曾修好了，服气也蛮近的，因此他径直走正途到半山腰，然后乘电梯直落山脚。

自然，上述例子中的山应有一种梦想的名义，不会出现多样绝壁和无法逾越的沟壑，尽可能的光滑，可交融为是一座“数学上可微分的山”（望望底下这幅草原好意思图感受下），否则老丁没法按照那么小的 来谋略他的最好旅途。

应用等势面也可以解释上述问题，例如下图所示为一山岳的等高线，从平地 处起程到山顶 的旅途中，处处与等高线保握正交的绿色旅途是最接近梯度标的，即绿色旅途，处于相邻等高线之间的每一段均是最短的阿谁距离，但其总长度夸耀却不是最短的阿谁。

由本例可知，自然梯度函数给出了局域的最短旅途，但在经过一个长距离的积存之后，这个旅途一般不是最短的那一个。

为什么会这样呢？因为梯度并不是与一段空间对应的，而是与每个点对应的。而本质的最短旅途必定是在全局配景下探讨的。局部最短和全局最短不可能兼得，只可顺应统一。

这的确是一个深远的哲理，就好比一个东谈主风气折腰步辇儿，留意翼翼，每一步皆走的很塌实很牢固，可一昂首才发现，前边不远方是一谈无法逾越的峭壁。有的东谈主为了争得咫尺的眇乎小哉，失去了获取将来更大确立的契机，而有东谈主只着眼于众多的宗旨，不谨慎活在当下的细节，失去健康，为山止篑。

1.11 梯度着落法

探讨一个简便的问题，寻找函数 的最低点的位置，谨慎，我在这里用了“寻找”一词，你就别指望用已学的二次函数的那些伟大训导方法了。我们需要用一种算法，让诡计机帮我们完成任务。

诡计机擅长快速的，重迭的按照样式来作念事，你可以这样安排它：

1.在数轴上随机取一个值，如 ，得 。

2. 在10傍边各取一个点，比如9和11，得 和 ，由于 更小，是以应向负轴标的陆续寻找。

3. 取一个稍小的 值，将所得值与上一步比较，要是仍减小，则重迭此步，若险些不变，则终末的 值即为最终效用，实现样式。

上头这件事看起来挺容易，但要作念好的话，还挺扼制易。有莫得一种凭证函数值着落的标的，自动获取下一步的坐标的方法呢？有，其实还不少，其中有一种叫作念梯度着落法。

当函数惟有一个变量时，梯度和导数是吞并个东西，即 。凭证梯度的真理，它的标的与函数增多的标的一致，故 的象征与函数值增量的象征一致，当它为负时，函数值减小，而当它为正时，函数值增多。

因此，在原坐标上减去一个与梯度值象征一致的数，就能确保自变量老是往函数值减小的标的出动，即按照下式更新坐标

其中 是一个合适大小的正数。

我们用上头的函数来西席一下， ，取 ，假定初值 ，迭代经由如下：

若运行值为 ，迭代经由为： 可见，按照这种方式更新自变量，函数值是一步步减小的，如下图所示，最终靠近函数的最低点位置 。

有东谈主可能谨慎到上头迭代的一个细节，自变量出动的步调越来越小，这是因为越围聚函数极值的场地，梯度越来越小，如下图所示，越围聚极值处，切线的斜率越小。这是梯度着落法的一个优点，因为在离最低点比较近的时候，本来就需要减速脚步冉冉围聚，要是步子迈得太大，可能越过了最低点，而跑到了另一侧，酿成傍边反复而不可阔气接近最低点。

自然，上述梯度前边的总共 的取值很紧迫，它是用来扫尾出动的步长的，此处就不扯太多了。

以上凭证一元函数讲明了梯度着落法，对于二维以上的情形，真理真理是一样的。只不外，此时梯度不再是简便的导数了，而是一个矢量，但此时的数据点亦然一个矢量，通过减去梯度的 倍，缓缓更新坐标如下

时势上与一维情况是一样的，底下举一个二维的例子讲明一下。

问题：寻找 的最低点。

，取 。

设运行坐标为 ，迭代经由为：

在 上的出动情况如下图所示，在约30次迭代后成效靠近最小值处。

下图动画展示了曲面上的点出动的情况，请谛视并自行脑补梯度着落四字之内涵。

本质研究中，东谈主们不时把寻找系统多样最优解的问题养息为寻找一个高维空间中的函数的最小值的问题。其中最紧迫的任务是，如何从空间中的某一丝通过一条合适的旅途，高效的靠近阿谁函数的最小值的位置，梯度着落法只是其中一个常用的算法，还有好多其他的方法，如牛顿法等，梯度在其中皆饰演了相等紧迫的变装。

1.12 向量有梯度吗？

先讲明下，向量与矢量是一趟事，分别是数学和物理中的两种叫法。

大多半情况下，我们只会波及普通的标量函数的梯度。但在数学上，标量可看作一维向量。若对等的看待向量各个重量，对每一个重量，皆像标量的梯度那样界说梯度，那么就自关联词然的界说了向量的梯度。

例如，探讨向量 重量 按标量一样有梯度 ， 和 也一样。

问题是，如何用这三个重量的梯度表露 的梯度呢？

可能有东谈主意志到：矢量的梯度运算既不是点乘，也不是叉乘，那就径直仿照标量的梯度那样，二者之间什么也不写，记为 ，因此有

由于 是微分算子， ， 和 是常量，因此上式等于 目前的问题是，这里的三个重量的梯度自己亦然矢量，它们与 , 和 之间应该按照什么司法来运算呢？

其实，既然我们知谈，矢量的梯度等于它的重量的梯度，目前无非是把它表知道来结果，那就就先放下念念想背负，管他什么司法呢！先径直写出来再说！

那好吧，陆续写 再硬着头皮陆续写 写到这里，可能你会以为奇怪，这里的 ， 皆是些神马东西啊？

收拢一丝：我们这不外是为了把矢量的梯度表知道来结果！因此它应该等于一种合座象征，是的，它等于并矢。

你可将它交融为与 ， 差未几的东东，不外目前一共有9个，代表9个基矢，至于为什么是9个，那是因为我们的空间是3维的。

你还可把3个单元矢量放在一齐，例如 ，一共组成27个近似的基矢。它们的线性组合等于张量。要是 个放在一齐，那就有 个基矢，对应的张量称之为 阶张量。

因此，并矢是二阶张量，矢量是一阶张量，标量是零阶张量。

要是空间不啻3维，例如是4维，则相应的 阶张量就有 个基矢。

然而很夸耀，这种多项式的抒发看起来很繁琐，既然只是一种象征表露，我们完全可以写得更简洁优雅！

一般领受矩阵的方法来简化这种多项式，例如矢量 它的重量排成一个有序列，即为矢量的矩阵表露

近似的，一个并矢，也可用矩阵来表露。例如上头的 的矩阵表露为 正如你看到的，这个矩阵中的元素胪列，与多项式中的基矢的总共的胪列不同，仔细看发现是有限定的：即轮换对每行顺时针旋转90度，然后从左到右轮换胪列，这种操作叫作念转置。例如，矩阵 的转置记作 ,很夸耀，它们的元素有如下对应关系。 还牢记前边提到的对于梯度的三个中枢精华关系式吗？这里再看下编号为(1.3)的式子，即

既然 和 皆是矢量，凭证矩阵乘法则则，我们将上式写成矩阵的时势 而矢量的梯度也有近似的关系，之是以说“近似”，因为矢量的梯度与坐标微元 之间不是普通的点乘运算，因为得到的效用是矢量的全微分，它仍然是矢量！用矩阵表露如下看到这里，有东谈主可能豁然开朗了：这不等于全微分中的雅可比矩阵嘛？的确如斯！本质上，若逐项求出矢量的重量的全微分，并将效用中的那些项按递次排成矩阵，很容易就得到了雅可比矩阵。

至此可得论断：矢量的雅可比矩阵的转置等于它的梯度的矩阵时势。

本质上，标量的梯度是上述限定的疏淡情况，而对二阶以上的张量来说，其限定亦然近似的，它的梯度是更高维的矩阵。

扯半天，你是不是对这里的梯度的真理如故有点懵？其实你想多了，矢量也好，甚而高阶张量也好，与标量的梯度一样，它的梯度如故归结于各个重量的梯度。只是为了简洁，搞了这样一套矩阵的方法来抒发，一切不外是为了写起来和看起来更便捷结果。

对于梯度就说这样多吧，不知诸君看官交融如何？梯度对大多半学过微积分或者普通物理的东谈主来说，基本皆知谈是如何回事，但就怕没简直交融透。自然，本文不是写给那些对梯度熟烂于胸的东谈主的，对于那些刚刚学了一些高数，或者学完但还没如何用的东谈主，本文如故值得仔细看一看的。

本文所用到的一些数学常识，比如矢量、导数和微分的意见，高中就学过，这个没问题。可能有些东谈主对偏导，泰勒展开，全微分和矩阵这几个东西不太老成，但我想说，这是学过高数最起码的要求，要是你对这些常识还不了解，你可得先花时间看下筹商内容。

好了，接下来望望散度是什么。

2. 什么是散度？

散度(divergence)，常用象征 表露，界说为哈密顿算子与一个矢量函数的点乘，在直角坐标系中的抒发式为

那么，如何材干更直不雅的交融散度呢？它有什么具体的物理真理呢？

诸君且再次听我冉冉谈来。

2.1 从通量提及

日常中，东谈主们需要纪录空间流过的流体的量，例如，水库泄洪的水量。但更多时候，东谈主们需要监测流体流动的快慢，例如单元时间内，有些许流体流以前了？

如上图所示，设水流过一个横截面积为 的管子，水的密度为 ，畅通速率为 。夸耀，在 的时间内，任一截面左侧长为 的管内的水皆将流过该截面，即 这等于 时间内流过 截面的流体的量。东谈主们风气用单元时间内流过 面的流体的量描写流体穿过 的快慢，称之为通量（Flux），即 若将截面看作念沿法向往右的矢量 ，界说流体速率矢量 以表露单元时间，单元面积崇高过的流体质地，则 上头探讨通量过于简便，更一般的情形是，流体的速率不均匀，而况 不是平面而诟谇面，如下图所示。

这种情况下，将曲面看作是多个微弱的平面 拼接而成的，每一个微弱的平面的通量仍可按照上述简便的情形来诡计 对上述效用乞降，当微弱的平面数趋于无尽时，所得曲面积分即为通量 ，即

上述积分的一个问题是，曲面任何一丝的沿法线的两个相背标的皆可选作面积矢量标的，换句话说，曲面的左和右、上和下、前和后莫得完全的辞别。即使我们对某特定曲面，可东谈主为商定扫数点的面积矢量皆指向某一侧，但对放纵非闭合曲面，却无法统一商定。

因此，对非闭合曲面，通量可正可负，因东谈主而异。但对闭合曲面，通量的象征是否可统一服气呢？

探讨一个球形容器，名义均匀漫步无数个小孔，水从球内经小孔往外流出，同理，可得容器名义 的通量为

很夸耀，与非闭合的曲面不同，闭合曲面表里是可折柳的，故可以统一商定面积矢量的标的。东谈主们统一商定：由内向外的法向作为面积矢量的标的。凭证这个商定，若某处流体向曲面外流出，则该处的通量为正，否则为负。

如图，一个束缚冒水和漫水的玻璃圆筒，它的侧面不透水，故通量为零；下底面有水插足，通量为负；上底面有水漫出，通量为正。

上述是用真实的流体——水来作念例子讲明的。但本质上，任何矢量 皆可以代替真实的流体速率矢量 来诡计这种积分。即，任何矢量 皆可界说通量 典型的例子是电场强度 ，电场并非流体，但我们可将电场四肢一种想象的流体，对放纵闭合曲面酿成的通量叫电通量，用 表露，即

2.2 通量的源

上头玻璃圆筒底部的有水束缚冒出来，上头束缚有水漫出来，你很容易预想，冒出的水技巧与漫出的水是等量的。再看底下这个灯泡，日复一日，灯泡发出的能量，要是不探讨被空气给与，皆流过包围灯泡的某个面。

你应该知谈我想说什么了，是的，流体的通量老是有源可溯的。曲面上净流出的通量老是由曲面内某种源孝顺的。正电荷等于静电场的源，它像西纪行中的蜘蛛精的肚脐眼一样，束缚往外射出无数电场线。

要是反过来，流体束缚流入曲面呢？那讲明曲面里面也有一个源，不外是负的源，也称作汇，乃汇注之意。它像一个瑕疵一样，束缚吸入从曲面外插足的流体。

8月9日，山东省人民政府新闻办公室召开新闻发布会，介绍山东省噪声污染防治行动相关计划。

三个专项行动分别为开展高值耗材专项检查，开展整治“红包”、回扣专项检查，开展医德医风教育主题活动。

底下动画中，瀑布的水束缚注入下方的深潭，深潭是瀑布的汇，因为包围深潭的曲面的通量为负。近似的，静电场的汇等于负电荷，它看起来好像束缚将电场线从外面拉进去殉难掉。

可见，这里的“汇源”可不是什么“汇注五洲英才，源通四海钞票”之意哦。

流体的源并不是惟有一个点，而是漫步在曲面包围的空间中，如下图中，无数迸发的炸药等于出射的烟花流体的源。

不言而喻，源的强弱决定了通量的大小。打个比方，有炸药发生了爆炸，酿成向外扩散的气流，气流被激动的快慢取决于爆炸的威力，也等于炸药的量。它的量越大，它的冲击力导致空气朝四面八方流出的量越大。很夸耀，他们（空气流量与炸药量）之间等于一种通量与源的关系。

那么这个源能否量化的表露？自然！从朴素的因果关系看，闭合曲面上每技巧的通量皆来自里面空间的源的孝顺，要是对通量作念时间积分，即从通量脱手到实现的全经由乞降，那得到的应该等于源的孝顺总量。

例如上头阿谁灯泡，从它开启到关闭，扫数穿过玻璃罩的光和热，也等于通量的时间积分，数目上等于光和热的源，它等于灯泡的用电量。

按此交融，若通量踏实不变，闭合曲面里面的源在职一技巧的总的孝顺等于该曲面放纵技巧的通量。

但若通量随时间变化，则任一技巧曲面的通量，并非其里面的源在此刻的孝顺量。因为从里面各点发出的孝顺抵达闭合曲面需要时间，是以通量的诡计在时间上是滞后的。例如，太阳名义每技巧的发射，来自那些同期到达太阳名义，但发生于不同期刻和不同地点的热核反应的孝顺之和。

趁机说一下，在电磁学里，由于电荷漫步或电流漫步的变化，必须经过一段时间之后，材干够将其影响传播到场位置，产生对应的电磁作用，一般用所谓推迟势来描写。

好了，你未必解析了，通量是由曲面里面扫数的点集体孝顺的，这种基于点的孝顺等于通量的源。对于“源”的骨子，在背面2.6节讲完对于通量的一个敬爱的性质之后，你可能会愈加解析一些。

2.3 源的强度——散度

既然曲面 上的通量 皆来自曲面包围的空间 内的源的总孝顺，那么将这个通量除以 ，即 ，等于空间各点的源的孝顺的平均值（源的平均强度）。

关联词，空间内的源的强度并非均匀漫步，是以这种求平均的作念法真理不大。

更何况，凭证前边所讲，由于时间的滞后性，对任一技巧里面空间的源的总孝顺来说，它自己无法通过诡计包围曲面的通量来获取。

能否想办法获取源在空间任一丝的孝顺呢？

若得到位于某点的一个无限小的闭合曲面 的通量 ，由于此时不存在时间滞后的问题，则该通量等于该点的源的孝顺。

关联词，凭直观，当曲面 无限小时，其通量势必为零，即

因而，空间各点的源的孝顺也势必为零！如何办？

有了！参照上头提到的求平均值的作念法，将 除以相应的 ，即

这不等于源的平均强度的极限值吗？是的！

追念一下，在畅通学中，瞬时速率的意见等于在平均速率的基础上通过如下极限来引入的 因此，很自然的，这个平均强度的极限等于源在该点的强度。代表点隔邻单元体积内孝顺的的通量。

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在数学上，这个量叫作念 的散度，用 表露。这等于散度的界说，即

对流体来说， 是速率场，即为 ，那么它的散度是空间点隔邻单元体积的名义上，欧博娱乐开户在单元时间内，流出或流入的流体的量。

谨慎，这里有一个细节问题需要廓清一下。

有东谈主建议，上述流体的速率场的的散度也可以说成

空间点隔邻单元体积内，在单元时间内，增多或减少的流体的量。

自然在绝大多半情况下，这两种说法是一致的，因为一般流体传输量是守恒的，例如质地、能量等。但广义上说，这是不一定的。因为你无法服气某个量是否能假造产生或消亡。例如，惟有我们确信了电荷守恒这一丝后，才据此得到电流的连气儿性方程——背面回头推敲。

到此，你未必基本交融散度的含义了，它代表通量的源的强度，或者简便的说，散度是通量的体密度！在背面的2.6节中，当你了解到通量的一个敬爱限定之后，这一丝看起来更清晰。

那么，该如何得到散度的抒发式呢？

2.4 散度的抒发式

如下图，设矢量 漫步于空间中，有个极小的长方体的中心位于点P处，现诡计 对此长方体的名义酿成的通量。

对长方体的六个面一一诡计，先探讨上图中左侧面 的通量 侧面 中心位于P点左侧，距离为 ，该处矢量 为 由于长方体极小，上述矢量 值代表 上各点的 值。而 对应的法向标的向左（谨慎：闭合曲面的法向章程为由内向外），是以 是以上头的通量 可近似表露为 同理，与 正对的 的通量近似表露为 这两部分加起来得到 由于长方体的体积恰恰是 故 当 时，必有 ，上头的 就变成 ，即 上式右边恰恰是偏导数 的界说，故得 相通的分析，另外的两对侧面也分别有近似的论断 将此三式相加得 由于 故 上式左边恰恰是上节给出的散度的界说，故得 这等于散度在直角坐标系中的抒发式。

凭证del算子的界说，上式右边为 ，故散度最简洁的抒发式为

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2.5 柱坐标与球坐标下的散度

先看柱坐标系的情形。

如下图，位于点P 隔邻，转折名义以蓝色象征的体积元 为 现窥探它名义的通量。

名义 的面积矢量为 ，其中 的值为 而 中心处的场矢量 为

故通量为 ，即 同理，名义 的通量为 故此两名义的通量之和为 令 在上式双方同除以 得 当 时 ，上式中 变为 ，凭证偏导界说，即 近似的，可得前后两个面的通量之和与 之比的极限 因为柱坐标的z轴与直角坐标一样，故转折两个面的情况与直角坐标疏导，即 全部加起来得到 凭证散度的界说，上式即为柱坐标系中的散度： 对于球坐标的情形，一样的套路，底下我丹青好了

胶柱调瑟，得到球坐标系中的散度抒发式为

经由略去，读者可自行推导试试。

需要讲明的是，上节(2.3)式是矢量的散度的一般抒发式，放纵坐标系下的抒发式皆谨守它。

2.6 高斯定理

对于散度，一个最紧迫的应用是，通过它，我们可将一个复杂的闭合曲面积分化为一个体积分。要交融这个问题，就要学习高斯定理。

在讲高斯定理之前，先来看通量的一个敬爱的性质。

假定一个闭合曲面 里面的体积为 ，现将 四肢由若干小块 , 拼成的，每一个小块的名义酿成的通量分别为 , ，则容易解释， 的通量 等于这些小块的名义的通量之和，即

底下以 为例来讲明。如下图，体积 被切成 和 两部分。 的名义由 和切面 组成，而 的名义由 和切面 组成，图中给出了各个面的法向矢量。

先来看两个切面 产生的通量，分别用 和 表露。由于它们不是闭合曲面，是以法向可放纵选拔，这里选拔向右为正标的，由于两个切面本质上重合在一齐，它们的通量一样，即 但对闭合曲面来来说，法向矢量应向外，是以 的切面的矢量应该向左，因此， 的名义的通量中，切面部分孝顺的通量应为 。

故得 和 名义的通量分别为 而通盘 的名义的通量夸耀等于 和 的通量之和，即 聚首以上三式，很容易发现

因此，总通量等于两部分体积的名义的通量之和。

若将 四肢更多，甚而无尽多块拼成，上述论断自然如故竖立的。

是不是以为通量有点像质地？

是的！只不外通量有正负之分，但本质上广义的质地也可为负。

是以，通量与散度的关系，近似于质地与密度的关系，因为质地也等于里面各个部分的质地之和，每一个部分的质地皆占一部分体积，密度等于质地与体积的比，正如散度是通量与体积的比。

因此，散度的含义看起来愈加清晰，它等于通量的体密度！

讲到这里，霎时意志到，前边2.2节“通量的源”中所说的源等于将空间分红无限小的子块时，各小块的名义积的通量。换句话说，源的骨子是无限小闭合曲面的通量。源与通量的关系，近似于质点与质地的关系。

将此限定按照通量的界说写出来等于

式中 是指切出的小块 的名义。

好了，目前据此推导高斯定理。将上头的关系式右边稍作变形 上式右边方括号内的部分，在 若无限小时，恰恰是散度。将 四肢无数个无限小的小块拼成，则可得 高斯定理，也叫散度定理。

凭证此定理，矢量场的通量可以化为它的散度的体积分。背面将例如讲明它的应用。

2.7 一个例子——静电场

前边提到，酿成通量以及散度的矢量 并不一定与流体速率关联，可以是放纵其他的常矢量，例如静电场的强度 。

静电场是静止的点电荷引发的，探讨真空情况，抒发式为 静电场知足叠加旨趣，即 设空间中有点电荷 ，一闭合曲面 将其包围。

窥探曲面上微元 ，它与该处的电场强度之间的夹角为 ，故该微元面积的电场通量为 式中 是微元面 沿着垂直于电场标的的投影面积，它知足 其中 是 对球心（也等于点电荷）伸开的立体角，代入上式得 积分得通盘闭合曲面的电场通量为

因此，点电荷 在包围它的放纵闭合曲面上的电场通量为 。

那么，若某闭合曲面 并未将点电荷 包含在内，则该电荷对 产生的电场通量是些许呢？简便分析可以得出，谜底是零！

如图所示，点电荷 在闭合曲面 除外，画放纵闭合曲面 包围电荷 ，并与 相交。曲面 的电场通量分为两部分，即 凭证前边已知论断， 的通量为 。

而 与 合成的闭合曲面将 包围，故电场通量也为 ，即 谨慎，之是以此处 孝顺的通量为 ，因为 目前与 组成闭合曲面，与它属于 的一部分比较，它的法向反向了。

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同理， 与 一齐将 包围，故电场通量也为 ，即 以上两式相减得 ，解释了论断：处于闭合曲面外的点电荷对曲面的电场通量莫得孝顺。

探讨到前边提到的电场强度的叠加性，目前可以得出静电场的高斯定理：放纵曲面的电场通量等于所包围电荷的代数和除以 ，即 若电荷在曲面 内连气儿漫步，则上式右边应通过对电荷密度积分来获取，即 将此式与散度定理比较，由于 是放纵的，故可知 这是静电场的高斯定理的微分时势。意即：静电场的散度等于电荷密度除以 。

凭证正负电荷的不怜悯况，高斯定理中的电荷或电荷密度相应的取正或负。因此，由于正电荷引发的电场指向四周，而负电荷相背。因此，对闭合曲面来说，里面正电荷的电场将从内往外穿过，而负电荷则相背。是以，正电荷为包围它的闭合曲面提供正的通量，负电荷相背。

若领受电场线来描写电场，则可愈加直不雅的交融上述限定。

凭证法拉第的电场线的意见，既然电场可用电场线描写，若按照一定的比例画电场线，使单元面积内条数在数目上恰恰等于电场强度的大小，即 那么就有

也等于说，电场通量可被看作为电场线的条数。

要是某点有正电荷或负电荷，包围该点的无限小闭合曲面必有电场线流出或流入；反过来，要是某个点有电场线冒出或消亡，则该点势必有正电荷或负电荷。换句话说，电场线不会在莫得电荷的场地中断。

这样，我们就很容易交融这样一个事实：层层包裹着电荷的不同曲面必定具有颠倒的电场通量。自然前边也曾解释了这个论断。

可以想象，当你站在曲面外看时，正电荷的电场线就从曲面射出，而负电荷的电场线则从外面吸入。基于这样一种物理图像，我们将正电荷称作电场的源，而将负电荷称作电场的汇。

自然，要是从引发电场的角度来说，岂论正负电荷，皆是电场的源。

2.8 另一个例子——电流的连气儿性方程

上头讲了真空的静电场的散度，它对应的量是电荷的空间密度 除以 。

现窥探电流密度 的散度。

电流密度是电荷流体的速率场矢量，即

其中 是电荷的空间密度，它等于单元体积载流子个数 与载流子带电量 的乘积， 是电荷畅通的速率。

凭证散度定理有 上式左边——作为通量，它给出的是单元时间内流出闭合曲面 的电荷量。

要是电荷不可被创造，也不可被覆没，即电荷是守恒的，那么除了电荷更变除外，莫得其他改变电荷量的路线。因此，单元时间内，穿过曲面流出的电荷量与里面空间电荷的减小数必定颠倒，即

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负号代表电荷流出。而曲面 包围的体积 内的电荷量可以为表露为 故得 将此式与散度定理比较得 由于 是放纵的，故 这等于电流的连气儿性方程。

要是每个场地的电荷皆不随时间变化，即上式右边为零，那么得 这等于稳恒电流知足的基尔霍夫定律。

2.9 散度的物理真理

从散度的抒发式——(2.2)式或更一般的(2.3)式来看，散度乃场矢量的重量的偏导之和，但这到底代表什么真理呢？

有东谈主说，这代表了场矢量随空间坐标的变化率。但这种仅从数学式名义的交融并无多大匡助，而况极易与梯度浑浊，而导致交融失实。

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例如，点电荷的电场既然随坐标变化，从直不雅上看，在职一丝的偏导好像不应该为零，因此应该有散度？是这样吗？

数学诡计最可靠，我们来算一下就知谈了。

因为点电荷的电场漫步具有球对称性，用球坐标更便捷，抒发式为 凭证前边给出的散度在球坐标系中的抒发式，诡计得 与(2.6)式给出的效用一致。

其实这也难怪，散度的抒发式只是严格诡计的数学方法，它才不需要直不雅呢！

那么，我们就从别的角度来看散度的真理吧。

第一个角度，散度的界说式，即(2.1)式自然它亦然概述的，但只须你念念考多了，谁敢说你不可把概述四肢你大脑中清晰的形象呢？

这里的极限表露曲面无限粗疏到阿谁点，也即是从阿谁点有场产生，换句话说，要是散度不为零，就意味着阿谁点成为场的泉源，它引发了场，而这个场因为具有源，而称为有源场。

例如太阳里面，但凡热核反应的点，散度不为零，等于发射源。池塘底部，但凡冒水或漏水的孔眼，散度皆不为零，等于水的源。

对真实的流体的速率场 ，其散度在数目上等于空间某点单元体积内流体的增多或减小数。例如电流密度 的散度等于流体密度的减少率。

第二个角度，散度定理，即(2.4)式 其实，骨子上讲，它和(2.1)式是差未几的。不外它更清晰的给出了这样一幅图像：穿过曲面的场的通量本质是源于曲面里面空间中某种物资的孝顺，而这种物资的密度 由这种场的散度给出。

简便的说，散度等于某种物资的密度。

自然，物资本质上通常并不存在，但我们仍然可以想象有一种物资，例如对电场电场来说，凭证上一节静电场部分所讲，这种物资等于电荷——自然电荷并非简直的物资。

对静电场来说，(2.4)式具体化为(2.5)或(2.6)式，电场背后的这种物资等于电荷，而电荷的密度 等于电场的散度——既然取合适单元制可让 等于1。

那么，什么情况下，散度成为真什物资的密度呢？

谜底是万有引力场。

探讨质点 产生的万有引力场

由于与静电场时势疏导，皆具平方反比的时势，仿照前边电场的情况，很容易导出 可见，引力场的散度是真什物资在空间的漫步密度。若选拔合适的单元制，散度等于物资密度自己。是以，质地是引力的源，寰球中扫数具有质地的粒子皆能产生引力。但比较粒子间其他作用，引力的强度很小，故一般可忽略。

再回到散度定理。闭合曲面的通量由曲面里面空间中的某种“物资密度”——散度的体积分决定，即使外部也存在这种“物资密度”，不会对曲面通量产生孝顺。换句话说，曲面的通量源于里面的源的孝顺，与不属于曲面内的源无关。

要是把场线看作是流体速率场，你站在一个闭合曲面外面，从哪个曲面冒出流体，你自然认为这些流体皆源于哪个曲面中的一些流体源；要是有流体插足这个曲面，你也会认为曲面内包含了一个流体源，不外它是负源，或者称作汇。

多年前某个冬日的下昼，我忍着饥饿听高数教育讲高斯定理。好扼制易熬到下课，饮鸩而死的我冲进食堂，一个个可儿的肉包子映入我的眼帘。夸耀我热烈的感受到这种束缚从包子内懒散出的吸引力，而它们那顶部呈现发射状斑纹愈加暗意了它们的含肉量极大——散度！

我顿悟了。

从一颗香喷喷的包子里发出的吸引力由包子里的肉量来决定，与包子外面的肉量无关。

2.10 拉普拉斯算子

散度是哈密顿算子与矢量点积，要是这个矢量是某个标量的梯度，那么就导致了梯度的散度，在直角坐标系中等于通常用 来代替 ，称之为拉普拉斯算子。它将一个标量函数 映射为另一个标量函数， 给出函数 的梯度的坐标变化率，为了论说便捷，我们称之为函数的Laplacian。

要是空间惟有一维，Laplacian退化为二阶导数。也等于说，一元函数的二阶导数可看作是Laplacian的一个特例，这有助于交融Laplacian的真理。

对一元函数 来说，要是局部是线性的，那么梯度等于常数，而梯度的导数为零，也等于 ；要是诟谇线性的，局部有两种可能，凸或凹，而梯度——函数增大最快的标的，分别指向和背离该点，对应的 分别小于零和大于零，这一丝也可借助函数的极值的限定获取。

而对二元函数 来说，要是它的局部是平面，自然就属于 的情况。这讲明函数 所描写的场是均匀变化的。对多元函数来说，亦然这样。

而对凹点或凸点，Laplacian取正或负，它源于场函数的梯度的散度为正或负。如下图所示，凹点隔邻，场线为向外射出的箭头——源；凸点隔邻，场线为向内射入的箭头——汇。

就拿电场来说把，若某点电势知足凭证 ，得 ，空间在该处莫得电荷。不外，这不代表电场是均匀的。

相通对电场来说，凭证 ，可知

因此，电势函数的凸点隔邻有正电荷，而凹点隔邻有负电荷。这是夸耀的，当以无尽远方电势为零参考点，正电荷隔邻电势为正，负电荷隔邻电势为负嘛。

为了看清Laplacian的真理，底下我们来看一个点从凹点移到凸点经由中Laplacian变化。

当它位于凹点时，周围皆比它高，它的Laplacian大于零；随着这个点移向凸点，周围出现比它还低的点，但比它高的点还占多半，这导致它的Laplacian减小；直到抵达某个平坦位置——确切的说是坡度恒定的位置，这个点周围比它低的点与比它高的点一样多，它的Laplacian变为零；然后逐渐的，它周围比它低的点逐渐占优势，Laplacian小于零；直到当它出目前凸点处时，周围扫数点皆比它低，Laplacian取负值。

可见，Laplacian可直不雅的被交融为场的平均变化率，即曲面上某点与隔邻各点连线的斜率的平均值。

赶快函数往下凹时，则场的平均变化率为正，反之为负。对那些均匀变化的场，它将描写一个平面——不是水平面，场函数的平均变化率为零。而若场在某点的平均变化率为零，则场在该点的值可用隔邻各点的平均值来代替。

Laplacian是图像管制范畴紧迫的数学用具之一。

例如，它常被用来检测图像边际。其基喜悦趣是，当图像平滑的变化时，Laplacian接近0；而当图像强度夸耀变化的区域，Laplacian的完全值较大。

再例如，它还被用于增强图像，养息图像亮度和神采的过渡等。

拉普拉斯算子的应用相等闲居，但篇幅有限，就不再过多波及了。

3. 什么是旋度？

旋度(curl)，常用象征 或 表露，界说为哈密顿算子与一个矢量函数的叉积，在直角坐标系中的抒发式为

那么，如何材干更直不雅的交融旋度呢？它又有什么具体的物理真理呢？

前哨水流湍急，诸君请系好浮水衣，随着我完成此次错愕的冲浪。

3.1 从曲线积分讲起

好多场合下，东谈主们需要获取某个量沿着一条曲线的积存。

最简便的例子，为特出到一条曲线的长度，从最先脱手，顺着曲线画出首尾贯穿的折线，如下图所示。

只须这些折线阔气短，那么这些折线的长度之和等于曲线的近似长度，即 若要得到阔气阔气精准的长度值，每段 必须相等小，当它们趋于无尽小时，就得到准确的长度，此时上式就变成积分，即 再来看物理中作念功的例子。设以物体质地为 ，与水深谷面间的摩擦总共为 ，则摩擦力在物体发生 的位片时作念功为 其中 ，即 的标的，代表积分的绕行标的，它沿曲线的切线标的行进，顺时针或逆时针，一朝采用， 的标的在通盘积分旅途上是连气儿的。换句话说， 不会在职何位置调转反向，例如下图就给出了一个逆时针的积分标的。

设作念功旅途为曲线 ，由于无限短的曲线与其弦长大小一致，因此 则作念总功为 这些例子等于所谓的曲线积分，可统一表露为 表露某个量 对曲线的积存。对曲线的长度来说， 为常数1，积存得到长度；而对作念摩擦力作念功来说， 是力，积存得到所作念功。

摩擦力作念功有点疏淡，对一般力来说，它的标的并不一定沿着轨迹的切线标的。既然惟有沿着切线标的的分力作念功，当用矢量 代替上式中的 时，只须将 也用 代替，即可保证依然得到作念功的值，而刚正是，我们可以将上述曲线积分写成矢量时势，即

很夸耀，只须将 记作 的切向重量，即 可回到标量时势的曲线积分。

由于有向线元 ，因此曲线积分也不时简写为

3.2 一种疏淡的曲线积分：环量

东谈主们风气将闭合旅途上的曲线积分称作环量。

例如，一个闭合线圈的质地等于它的线密度 所导致的环量，即 物理上最常见的例子是变力作念功，在一个随坐标变化的力 作用下，质点沿闭合旅途 畅通，则作念功等于力所导致的环量，即 对一个放纵的环量，用来作念曲线积分的 是一个放纵的场函数，即 因此，环量是指场矢量沿曲线的积存，确切的说是场矢量沿切线的投影值与曲线微元的乘积的总数，用矢量的话语说等于场矢量与旅途上逐点所对应的微分矢量的点乘之和！ 既然环量是两个矢量点乘然后积分，那么得到的老是一个标量。有东谈主将环量交融为场矢量自身沿曲线积存所得，这是不合的，因为那将得到矢量。还有东谈主将曲线自身的微元矢量积存看作念环量，即 ，这也不合，这只是将全部的曲线微元矢量累加起来，效用恒为零！

最闻名的环量来自电场强度和磁感应强度。学过大学物理的东谈主知谈，静电场对空间放纵闭合回路积分皆为零，而感生电场的场线自己是闭合的，是以它的环量可以不为零。磁场不分种类，皆是闭合曲线描写的，因此磁感应强度的环量可以不为零。

谨慎，好多东谈主张口就来：“磁场的闭合回路积分不为零”，这是不确切的，磁场的环路积分到底是不是零，取决于你的积分旅途。本质上，当你的积分旅途中莫得穿过任何电流时，积分自然等于零。

要是你问我，环量代表什么物理真理？这需要凭证具体情况来说。例如当被积函数是某种物资的线密度时，环量等于物资的质地。当你将涡旋电场沿一个闭合旅途积分时，你得到了一个电动势，因此感生电场的环量是电动势。

对一般情况，环量并不代表什么确切的含义。它等于场矢量在闭合旅途上的一种空间积存！要是你想起功的界说——力对空间的积存，你未必可以将环量交融为某种广义的“力”对闭合旅途所作的“功”。

3.3 环量背后的对应者

那么，为什么在数学上，环量是一个紧迫的东东呢？

要是你认为一个圆的周长是环量，周长增大自然会导致面积增大。是以，凭直观可知，环量与其包围的空间内的其他量筹商。例如，腰身是反馈脂肪总量和脂肪漫步的综共策划。

追念前边讲过的通量，凭证高斯定理，通量势必与引起它的某种流体源的体积分对应。近似的，环量也有它的对应者。

一个最直不雅的例子，旋转的陀螺具有沿轴向的角动量，角动量与陀螺里面点的速率（速率场）之间酿成一个右手螺旋关系。既然如斯，速率场的环量势必与垂直于速率形势在平面的某个量之间存在一个等式关系。

另一个例子是如下图的一个漩涡喷泉的例子，从底部冒出的水绕中心在水平面内旋转，水面束缚高潮，水的速率导致的环量与高潮的水面之间存在一个等量关系。

要是上头的例子只是让你抵赖的嗅觉是那么回事，即存在一个环量的对应量，那么底下两个例子就相等明确了。

第一个例子是，通电导线周围出现绕着它的环状磁场线，磁场与电流成右手螺旋关系。表面标明，磁感应强度的环量与电流之间只进出一个比例总共，而电流不等于电流密度所酿成的通量吗？

第二个例子是，当空间中出现感生电场时，势必存在一个与该感生电场成螺旋关系的磁场时间变化率。夸耀，感生电场的环量势必与阿谁变化的磁形势引起的一个量之间具有等量关系。学过电磁学的东谈主知谈，这个由磁场导致的量等于磁场随时间变化率的通量。

看起来，环量似乎老是与一个通量关联？没错！环量的背后势必对应一个通量，确切的说等于以环为范畴的曲面上的一个通量！

要是说，闭合曲面的通量对应它包围空间的体积分，那么闭合旅途的环量对应它包围曲面的曲面积分。简言之，环量之于面积分，犹通量之于体积分也！

也许你对上头讲的这些还不太解析，不紧要！你目前只须确信：环量的地位犹如通量一样紧迫，而况有一个潜在着用来替代它的东东存在，它应该是一个与环路关联的一个面积分。

底下先来看环量的一个紧迫性质。

3.4 环量的一个紧迫性质

还牢记在散度部分，我们解释了这样一个论断：将放纵样式的体积 分红若干个更小的体积 时，这些更小的体积的外名义的通量 之和等于通盘体积 的外名义的通量 ，即

环量也有一个近似的性质。如下图，回路abcda的环量等于afgda和fbcgf的环量之和。

这很容易看出，中间那一条竖线在傍边两个回路中的积分标的相背，因此孝顺的积分互为相背数，相互对消。故得：

要是探讨更复杂一丝的情况，这个论断亦然竖立的，如下图，4个回路的环量之和等于通盘回路的环量。

层见错出，若将通盘闭合回路分割成好多个小的区域，如下图，通盘回路的环量可以看作是它里面包含的无数个小的回路的环量之和。

写出来等于 若将一个闭合回路包围的面无限细分为无限小的区域，上式中的乞降就变成积分了，即 一个有限大小的闭合旅途上的环量，可以四肢是由无数个同标的的微元旅途上的环量累加酿成的。

想象你推着一个东西在大地转了一个圈，你不是作念了功嘛！关联词，你可能想不到的是，按照这种环量的累加念念想，就在你转的阿谁大圈内，此刻正涌现出无数个小漩涡，你所作的功皆来自这些小小的漩涡之中涌动的动荡。

其实，这一条性质早就被法国物理学家安培发现了，他建议：自然磁性是基于里面的无数个分子环流同向胪列而酿成的。如下图，这些无数个分子环流合在一齐，在磁铁的名义酿成一个大的环电流——磁化电流。

与此筹商的，安培还发现了以他的名字定名的“安培环路定理”，此乃后话，暂且不表。

3.5 旋度的界说

既然一个闭合旅途对应的环量，可以看作是其包围的面内无数个小的环量的总数，那么自关联词然的，你可能会想：将一个闭合旅途的环量除以它包围的总面积，是不是就可以看作是单元面积上的平均环量呢？即

这等于单元面积上的平均环量。环量是一种描写物理量沿闭合旅途的积存，那么这个平均值就代表单元面积的范畴上领有的平均积存。但很夸耀，这个平均值的真理不大，因为面上的环量的漫步一般不是均匀的。

与前边讲“通量的源的强度”近似，既然平均值没啥真理，那就来研究一下放纵点隔邻无限小的闭合旅途的环量，自然范畴亦然无限小，但面积也趋于零，是以它们的比值将是一个有限值，即

既然闭合曲面也曾缩至其里面的一丝，上头这个式子就给出了环量赋予空间的密度，由于除的是面积，是以是面密度。

看到这里，你可能也曾发现了，这套路似曾清爽，对啊！这模式与散度界说式(2.1)何其相似哦！

难谈真是就要这样界说旋度了？

差未几，其实这的确可以看作是旋度界说的基本念念想。

然而，比起散度，旋度的界说还有一丝不同，它波及标的，换句话说，它必须被界说为矢量，而不是标量！

为什么呢？

前边提到了，这个所谓的密度是面密度。关联词空间任一丝的面即使大小一样，也可以有不同的标的，在不同的方进取，这个密度自然有辞别的！

上头算出的极限，只是沿着你指定的某个标的的平面上的环量密度，而不代表一般情况。

本质上，在前边关联通量意见中也曾讲过，物理学中的面被界说为矢量，你用来求上头阿谁极限的面 在你心目中必定是有标的的！对一个服气的闭合旅途来说，以它为范畴的面积矢量商定为与积分绕行标的成右手螺旋关系，例如底下这个面积标的进取。

那么问题就来了，旋度就其本意，只应与某个点关联，但上头的极限抒发式却将其局限于只是表露闭合旅途 包围的面 上的环量密度！

是以，旋度自己是一个场矢量，只不外它沿着 单元矢量 的投影值是上头阿谁极限，按此交融， 的旋度要是用 表露，那么它应该知足

是以，旋度是一个矢量，它在你所关心的的积分回路的右手螺旋方进取的投影值，等于该回路包围的面积上的环量密度。

这等于旋度的界说！

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是不是有点怪怪的？的确！有东谈主怀疑这个界说不够把旋度服气下来，还有东谈主认为上头阿谁 是不是应该乘在等号右边，自然不是，记取：旋度只由场矢量 决定，只与所在点的坐标关联！

至于旋度的抒发式，还没来得及讲呢！底下就来了。

3.6 旋度的抒发式

如下图，设矢量 漫步于空间中，有个极小的长方体的中心位于点P处，现诡计 对此长方体的六个面中可视的3个面 , 和 拼成的面 的范畴 （图顶用红线标出）上的环量。

凭证上节解释的对于环量的性质， 面的范畴 的环量等于所包含的三个分区的范畴（设分别记为 ， 和 ）的环量之和，即

通盘旅途的环量应该可以因此而求得。

目前来诡计 ，即图中平面 的范畴的环量。

为了看的更清晰，画出从 轴向下鸟瞰的 如下，它的四条边分别用a、b、c和d表露。底下轮换对这四条边沿着箭头作念积分。

a边的线积分为

由于我们窥探的积分旅途极小，因此上述效用约为 近似的，我们得到其他三边的线积分约为 因此环量 为 其中 探讨到面积 ，上式可写成 故得 的值为即 当 时上式取极限得 同理，要是分析上头长方体右侧面范畴的环量，可得 而分析正前边的范畴的环量，可得 凭证上靠近于旋度的界说，它在某个服气的积分回路的右手螺旋标的的投影值等于该回路面积上的环量密度的极限值，这讲明 这讲明在直角坐标系中， 的三个正交重量分别等于这三个环量密度的极限值，故得旋度的抒发式为

老成矢量叉乘法则的东谈主一眼看出，旋度恰恰是哈密顿算子与矢量场 的叉乘，即 要是应用行列式的运算司法，旋度可以记为

不外，这只是直角坐标系中的旋度的抒发式，对于常用的球坐标系和柱坐标系，背面也给出一个简便的推导。

3.7 斯托克斯定理

前边提到的 的抒发式，当 时，即为一个微元旅途的环量同理可得 和 而既然 当 时，上式双方皆是无尽小量，写成微分时势 是以 对此式在 包围的放纵曲面积分，即得 上的环量。

要是用矢量表露面积，并章程它的标的与其范畴上的积分标的成右手螺旋关系，那么上述 对应的矢量可以写成 因此环量可写为 而作为一个环量，它是相应的闭合旅途上的曲线积分，即

因此得到等式 这等于数学中昂首不见折腰见的斯托克斯定理， 它的二维时势也叫格林公式。

这个定理的冠名者是爱尔兰闻名物理学家斯托克斯，但本质上他并不是这个定理的发现者。这事一言难尽，这里就不谈了。不外可以服气的是，麦克斯韦1854年等于因为解释这个定理而获取剑桥大学的数学学位，而况神奇的是，他一世最伟大的孝顺离不开这个神奇的定理，对此，本文后半部分将作简便先容。

斯托克斯定理告诉我们：矢量场在职意闭合旅途上的环量等于它的旋度在以疏导旅途为范畴的放纵曲面上的通量。

闭合回路积分通常比较复杂，而斯托克斯定理的一个紧迫作用是，这类积分可用一个面积分来替代，可能会令问题变得简便。

你看到了，前边说过的阿谁隐敝在环量背后的通量找到了，它等于矢量场的旋度在闭合旅途包围的面上的通量！

3.8 柱坐标系和球坐标系中的旋度

这一节的套路与3.6节如出一辙，其实没什么值得好说的，探讨到竣工性如故轻松的讲一下，不感意思意思可以跳过。

先看柱坐标系的情况。

如下图，设矢量 漫步于空间中，有个极小的体积元的中心位于点P处，现诡计 对此体积元的3个分别用白色，黄色和蓝色标出的面 ,ΔSθ和 拼成的面 的范畴 （图顶用红线标出）上的环量。

与前边的方法近似，先诡计 范畴 的环量 。

为了看的更清晰，画出从 轴向下鸟瞰的 如下，它的四条边分别用a、b、c和d表露。底下轮换对这四条边沿着箭头作念积分。

谨慎到a、b、c和d的长度分别为 这四边的线积分近似分别是 环量 近似为上述四个积分之和，则在 上的环量密度近似为 其中 当 和 皆趋于零时即为

近似的分析可得 以及 按照旋度的界说，以上三个极限值分别等于旋度与对应的三个单元矢量 , 和 的乘积，即柱坐标系中旋度的三个重量！

而柱坐标系与直角坐标系一样亦然正交系，因此得旋度抒发式为

再看球坐标系中的情况。

探讨球坐标下的某体积元，如下图所示，三个平面可视名义分别标记为 , 和 ，它们组成被红线包围的曲面 。

只须按照前边近似的方法来分析，不长途到球坐标下的旋度的抒发式。我以为没必要重迭讲。我信赖，庄重读了前边内容的读者应该也知谈如何作念，要是我重迭讲，可能说我啰嗦——自然我很欢畅有东谈主这样说，因为这讲明他真是懂了！

看一册书时，若你以为那本书有些场地反复的啰嗦讲近似的东西，那讲明你也曾深谙那背后的套路了！

是以，就径直给出球坐标系中的旋度抒发式吧，你可以我方推导一下。

球坐标系中的旋度为

3.9 积分与旅途无关的要求

曲线积分好多时候是令东谈主头疼的一件事，因为你必须沿着给定的旅途，从最先一直积分到极端。

那么，有莫得简化的办法呢？

比如说，我们需要将某个积分沿着底下这个函数给出的旅途（图中蓝线所示）进行，有没可能用沿着绿色或红色线的积分来替代呢？

这等于数学中的积分的旅途的独处性问题，它修起曲线积分在什么要求下与旅途无关的问题。

你可能会以为我扯得有点远，明明在讲环量与散度，如何会扯到这个问题上去？

其实，前边讲到的斯托克斯定理恰恰提供了修起这个问题的念念路。

斯托克斯定理告诉我们，对单连通的域上的光滑的函数（这句话的真理背面讲），闭合旅途积分等于它的旋度对旅途包围的曲面的通量积分。 要是某个矢量场 的旋度为零，那么 对放纵闭合旅途的积分不皆为零吗？

没错！

而一朝场函数对放纵闭合旅途积分皆为零，则势必导致它的积分与旅途无关！

这一丝很容易交融，因为你总可以将一个不闭合的曲线的始结尾用另一条放纵曲线贯穿酿成要给闭合旅途，如下图所示， 曲线 与 组成闭合旅途 。

若它的环量为零，则 意味着这两条曲线的曲线积分互为相背数，故 而 可放纵选拔，这样画出的旅途亦然放纵的，这讲明只须积分的始末位置疏导，曲线积分就疏导——积分与旅途无关！而这是由 的旋度为零所导致的。因此场矢量函数的旋度为零将导致场函数的积分与旅途无关。

自然，前边提过，由于斯托克斯定理是针对单连通的域上的光滑函数来说的，因此上述由旋度为零推得曲线积分与旅途无关的论断并不是庞大的。

是不是以为好概述？其实很简便！

回到之前我们用的一张图，我们也曾解释了，通盘区域的范畴上的环量等于里面包含的全部无限小的环量之和，而每个微元环量等于旋度乘以微元面积。既然里面各点旋度皆为零，那么这些无限小的环量皆为零，因此通盘范畴上的环量势必为零。

是以，重力和静电场力之是以不作念功，等于因为，当它们推着质点划过空间酿成一条闭合旅途时，轨谈包围的任何曲面莫得激起一丝旋动，自然就莫得积存任何功了。

但上头这个论断依赖一个简便的前提，那等于你的闭合旅途里面不可有孔洞，比如下图中左边这种域是可以的，而右边这种域就不知足要求。

其实真理真理很简便，域的里面，扫数相互围聚的微元环路在周边点处的环量是相互对消的。但最围聚范畴上的每个微元回路与域范畴相切的点处的环量将保留住来，这些点连成一条线，其总环量刚好等于阿谁闭合的外范畴的环量，这等于“合座环量等于里面扫数环量之和”的由来。

要是目前中间冒出一些孔洞来，那完蛋了，因为那些孔洞的范畴上也会有环量的积存，导致前边提到的阿谁”合座环量等于里面扫数环量之和“的性质不再竖立了！那么，斯托克斯定理也就不再竖立了！

自然，你要问我，现实世界中的一个力场，是否存在这种孔洞？爽快讲，其实我也不知谈，不知谈黑洞算不算？知谈的东谈主一定要告诉我。

至于为什么要求是光滑的函数，其实等于要求函数可导，既然斯托克斯定理里面一堆求导，要是导数皆莫得，指雁为羹啊！

要是你问“光滑”这个说法是咋来的，为什么用来表露可导，建议阅读本公号之前发的一篇著作“稳妥高中生和大一重生的芜俚微积分：导数、微分、偏导和全微分”。

因此，严格来说，我们不可由旋度处处为零，得出放纵闭合旅途的积分为零的论断，除非场是由单连通的域上的光滑函数描写的。

然而，反过来的说法——\"放纵闭合旅途的环量皆为零，则旋度必为零\"是庞大竖立的。

在物理学中，某个力作念功是否与旅途无关，决定它是不是保守力。 换句话说，要是一个力是保守力，那么它必定在空间放纵闭合旅途皆不作念功。

那么，凭证上头阿谁逆命题可知，保守力场的旋度必定处处为零。例如万有引力，静电场力皆是保守力，是以它们的场皆是无旋场。

对于保守力的问题，可阅读本公号之前发过一篇著作”什么是保守力“。

3.10 一些旋度的例子

看到旋度，大多半东谈主随机预想诸如动掸、漩涡和卷曲等，于是就认为但凡有旋度的场地，场必定皆是周折的，代表 场的曲线必定皆是闭合的曲线，是这样吗？

来举几个例子望望。

先来看一个可能也曾反复出目前你的脑海中的例子，在水桶中旋转的水。好多东谈主皆想过，水的旋度必定与角速率关联，而且，角速率越大旋度必定也越大，这是一种直观。

对不合呢？我们来望望。

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假定水围绕某个中心在水平面内旋转，设角速率为 ，设零技巧水的角位置 为零，则放纵技巧的角位置为 在直角坐标系中，水的位置为 假定水完全莫得径向速率，因此上头的 与时间无关，求导得速率为 这等于水的速率场。

谨慎，什么叫场？等于坐标的函数嘛，有些力无法只是用坐标表知道来，例如洛伦兹力，是以不在推敲之列。

望望它的旋度，很简便 哦，看到了吧，角速率真是就负责提供了旋度，稳妥大多半东谈主的直观！

在流体速率漫步的空间中，这种由旋度导致的东东叫涡度(vorticity)。本例中，它恰恰等于流体角速率的两倍。

要是你放一只带有转叶轮浆的划子到这个水中放纵位置，划子的轮浆服气会动掸起来——谨慎，这里我不是说它随着水流走，它自然会，但它还会动掸！否则如何叫旋度呢？仔细看底下这个图，你会发现什么？

再看另一个例子，设水速漫步为 这是一个速率大小随坐标变化，但标的却保握水平的水流，画出来未必是这样时势的。

完全莫得漩涡吧？看时势旋度似乎应该为零，关联词按照旋度的抒发式求得 涡度沿垂直纸面向外的标的，是以当放一只小叶轮在这水上，它会逆时针转起来，如下图所示。

自然流体速率并无卷曲，但因为速率大小不是均匀漫步，会导致一种动掸力矩，导致叶轮动掸。

从这个例子可以看出，即使场的漫步标的是均匀一致的（例如上半部或者下半部区域），也等于说描写场的场线是直线，但却依然产生了旋度！是以旋度并不老是被涡旋状的流体速率形势领有，它还会深藏在名义看起来成功的速率场之下！就像平安的河水下隐敝的暗潮，随时准备将你拽入那可怕的漩涡之中。

不外，风车的动掸并非源自旋度。因为风是正对着吹来的，不会提供相应标的的旋度。是以风车动掸与气流速率场的旋度关系不大。

再看一个例子，设有速率场为

这个速率场描写出来是这个时势，看起来好像有一种涡旋的嗅觉吧？

关联词凭证旋度诡计却得 是不是有点无意？

这个例子又告诉我们，场线即使是环形的，也不一定产生旋度。

总之，涡旋场与有旋场压根不是一趟事。场自身场线的涡旋与场的旋度对应的漩涡也不是一趟事，前者一般是夸耀的，广域的，此后者一般是隐敝的，而况是局域的。

3.11 电磁学中筹商的例子

电磁学中关联旋度的最紧迫的定理是安培环路定理。它指出，真空中放纵闭合回路上的磁场强度的积分，等于该回路中穿过的电流的代数和，...